Leçon 2 - Tâche 6 : Reconnaître et appliquer la relation √a / √b = √(a/b)

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Leçon 2 - Tâche 6 sur 15

06Reconnaître et appliquer la relation √a / √b = √(a/b)

Je peux écrire le rapport de deux racines carrées sous la forme d’une seule racine carrée, puis simplifier.

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir son sens. Regarde les 8 cartes.

un rapport

Touche pour retourner

un rapport

le résultat d’une division, écrit avec une barre : 6/3 = 2

le radical

Touche pour retourner

le radical

le symbole √ de la racine carrée

sous le radical

Touche pour retourner

sous le radical

le nombre écrit sous le symbole √ : dans √3/5, c’est 3/5

un nombre non nul

Touche pour retourner

un nombre non nul

un nombre différent de 0 : on ne divise jamais par 0

simplifier une fraction

Touche pour retourner

simplifier une fraction

diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre : 6/10 = 3/5

la règle des signes

Touche pour retourner

la règle des signes

(−) ÷ (+) donne (−) ; (−) ÷ (−) donne (+)

un carré parfait

Touche pour retourner

un carré parfait

le carré d’un entier : 4 = 2² ; 100 = 10²

le résultat final

Touche pour retourner

le résultat final

la réponse la plus simple possible

Je me prépare

Ce que tu sais déjà : (m/n)² = m²/n², simplifier une fraction, la tâche 5.

(3/4)² =

6/10 simplifiée =

√2 × √8 =

Je me prépare : d’où vient la règle

Je vérifie la règle, comme dans le livret.

1Je calcule le carré(√a/√b)² = (√a)²/(√b)² = a/b

2Je me rappellele nombre positif dont le carré est a/b, c’est √a/b.

3Je déduis√a/√b = √a/b

?La question d’aujourd’huiComment écrire √200/√2 sous forme d’un seul nombre ?

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Écris sous forme d’un seul nombre : √6/√10 = √6/10 = √3/5

Écris sous forme d’un seul nombre : −√2/√32 = −√1/16 = −1/4

Calcule : √200/√2 = √100 = 10

Avec les étapes de la méthode : voilà la tâche réussie.

Voici les critères pour réussir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

√J’applique la règle √a/√b = √a/b, avec la règle des signes si besoin.

÷Je calcule ou je simplifie la fraction sous le radical.

=Je donne le résultat final : 4 = 2², donc √1/4 = 1/2.

Voici ma méthode

Pour diviser deux racines carrées, j’utilise toujours la même méthode, en 3 étapes.

1J’applique la règle√a/√b = √a/b, avec b ≠ 0. Si un nombre est négatif, je mets d’abord le signe devant.

2Je calcule sous le radicalJe divise, ou je simplifie la fraction.

3Je donne le résultatSi le numérateur et le dénominateur sont des carrés parfaits : √4/9 = 2/3.

Je retiens : la propriété

Je te montre comment je fais

Le rapport de deux racines carrées.

Le rapport√8/√2

La règle√8/2

Le calcul√4

Le résultat2

1. Propriétéa est un nombre positif et b un nombre positif non nul : √a/√b = √a/b.
2. Exemple 1 : √8/√2 = √8/2 = √4 = 2.
3. Exemple 2 : √25/16 = √25/√16 = 5/4.
4. RemarqueLe rapport des racines carrées est égal à la racine carrée du rapport.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

√18/√2 =

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Le résultat est un entierÉcris √200/√2 sous forme d’un seul nombre.

1 J’applique la règle2 Je calcule sous le radical3 Je donne le résultat

Le rapport√200/√2

La règle√200/2

Le calcul√100

Le résultat10

Essaie d’abord. √200 / √2 =

1. J’applique la règle√200/√2 = √200/2
2. Je calcule sous le radical200 ÷ 2 = 100, donc √200/2 = √100
3. Je donne le résultat100 = 10², donc √200/√2 = 10.

Je retiensJe divise sous le radical, puis je cherche un carré parfait. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Avec un signe moinsÉcris −√200/√2 sous forme d’un seul nombre.

1 J’applique la règle des signes2 J’applique la règle3 Je calcule sous le radical4 Je donne le résultat

Le signe−

La règle√200/2

Le calcul√100

Le résultat−10

Essaie d’abord. −√200 / √2 =

1. J’applique la règle des signes−√200/√2 = −(√200/√2)
2. J’applique la règle−(√200/√2) = −√200/2
3. Je calcule sous le radical−√200/2 = −√100
4. Je donne le résultat−√200/√2 = −10.

Je retiensJe place le signe devant, puis j’applique la règle au rapport. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Je simplifie la fractionÉcris √6/√10 sous forme d’un seul nombre.

1 J’applique la règle2 Je calcule sous le radical3 Je donne le résultat

Le rapport√6/√10

La règle√6/10

Je simplifie√3/5

Le résultat√3/5

Essaie d’abord. √6 / √10 =

1. J’applique la règle√6/√10 = √6/10
2. Je calcule sous le radicalJe simplifie par 2 : 6/10 = 3/5
3. Je donne le résultat√6/√10 = √3/5. 3 et 5 ne sont pas des carrés parfaits : je garde √3/5.

Je retiensJe simplifie toujours la fraction sous le radical. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Yassine écrit : « √18/√2 = √16 ». A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeYassine a soustrait : 18 − 2 = 16.
2. Je me rappelleLa règle dit : √a/√b = √a/b. On divise.
3. Je conclus√18/√2 = √9 = 3, pas √16 = 4.

Erreur 1 Soustraire au lieu de diviser.

→ Sous le radical, on divise : √18 / √2 = √9 = 3.

Attention !

Les erreurs à éviter

Salma écrit : « √8/√18 = √8/18 », et elle s’arrête. Est-ce le résultat final ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeSalma a gardé la fraction sans la simplifier.
2. Je simplifie8/18 = 4/9 : 4 = 2² et 9 = 3².
3. Je conclus√8/√18 = √4/9 = 2/3. Le résultat final est 2/3.

Erreur 2 S’arrêter avant la fin.

→ Je simplifie la fraction, puis je cherche des carrés parfaits.

Attention !

Les erreurs à éviter

Karim écrit : « −√12/−√3 = −2 ». A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeKarim a gardé un seul signe moins.
2. Je me rappelle(−) ÷ (−) donne (+).
3. Je conclus−√12/−√3 = √12/√3 = √4 = 2.

Erreur 3 Se tromper de signe.

→ Deux signes moins : le rapport est positif.

On essaie ensemble

On applique la méthode ensemble, étape par étape.

AÉcris √6/√10 sous forme d’un seul nombre.

1. J’applique la règle : √6/√10 =

2. Je simplifie : 6/10 =

3. Le résultat final :

On essaie ensemble

BÉcris −√2/√32 sous forme d’un seul nombre.

1. La règle des signes : −√2/√32 =

2. J’applique la règle : −(√2/√32) =

Pourquoi ? 3. Je simplifie et je conclus : −√2/32 =

On essaie ensemble

CRemets les 3 étapes de la méthode dans le bon ordre.

Touche les 3 étapes de la méthode dans le bon ordre.

On essaie ensemble

DCalcule √27/√12.

1. √27/√12 = √27/12 =

2. √9/4 =

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

√2/√6 =

Je m'entraîne

b

−√3/√24 =

Je m'entraîne

c

−√15/√3 =

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

d

√8/√18 =

Je m'entraîne

e

−√12/−√3 =

Je m'entraîne

f

√27/−√12 =

Je m'entraîne

g

√50/√2 =

Je m'entraîne

h

√7/√63 =

Je m'entraîne

i

√10/√5 =

Dans la vie

Les racines carrées autour de nous.

Un rectangle a une aire de √72 m² et une largeur de √2 m. Sa longueur est :

Dans la vie

Une corde de √75 m est coupée en morceaux de √3 m. Combien de morceaux ?

Dans la vie

Hiba dit : « √48/√3 = 4 ». A-t-elle raison ?

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 6 questions : il faut 5 bonnes réponses du premier coup (80 %).

√12/√3 =

−√30/√6 =

√5/√20 =

−√45/−√5 =

√14/√21 =

Je vérifie

√98/√2 =

Défi

Défi du livret corrigé : avec 90, le résultat n’est pas un entier ; on prend 80. Réfléchis avant de toucher.

Montre que −√√80/−√√5 est un nombre entier naturel. Il est égal à :

Défi

√6 × √12/√2 =

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Pour écrire √a / √b sous forme d’un seul nombre, je commence par…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

1. La règle√a/√b = √a/b, pour a positif et b positif non nul.
2. Les signesJe place d’abord le signe devant : (−) ÷ (+) donne (−) ; (−) ÷ (−) donne (+).
3. Je simplifieJe simplifie la fraction sous le radical, puis je cherche des carrés parfaits.
4. AttentionOn ne divise jamais par 0.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

J’écris un rapport de racines carrées sous forme d’une seule racine.

J’applique la règle des signes.

Je donne le résultat final le plus simple.

J’utilise la règle dans un problème.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes sur le rapport de racines carrées.ManipulationJe divise pas à pasLa règle, la fraction simplifiée, le résultat : divise pas à pas.JeuLe rapport éclairUn rapport de racines carrées : touche vite le résultat.

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