Leçon 2 - Tâche 4 : Distinguer nombres rationnels, nombres irrationnels et nombres réels

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Leçon 2 - Tâche 4 sur 15

04Distinguer nombres rationnels, nombres irrationnels et nombres réels

Je peux dire si un nombre est entier, décimal, rationnel ou irrationnel, et justifier ma réponse.

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir son sens. Regarde les 8 cartes.

un nombre entier

Touche pour retourner

un nombre entier

un nombre sans virgule, positif ou négatif : −4 ; 0 ; 234

un nombre décimal

Touche pour retourner

un nombre décimal

un nombre dont l’écriture décimale est finie : 2,25 ; −0,039

un nombre rationnel

Touche pour retourner

un nombre rationnel

un nombre qui s’écrit sous forme de fraction a/b, avec a et b entiers et b ≠ 0

un nombre irrationnel

Touche pour retourner

un nombre irrationnel

un nombre qui ne s’écrit pas sous forme de fraction : π ; √7

un nombre réel

Touche pour retourner

un nombre réel

un nombre rationnel ou irrationnel : tous les nombres de la droite numérique

la droite numérique

Touche pour retourner

la droite numérique

une droite graduée : chaque nombre réel y a un seul point

l’abscisse d’un point

Touche pour retourner

l’abscisse d’un point

le nombre réel qui correspond à ce point

montrer

Touche pour retourner

montrer

écrire les étapes qui prouvent la réponse

Je me prépare

Ce que tu sais déjà : les trois écritures décimales (tâche 3).

5,928 =

L’écriture décimale de 1/3 = 0,333… est :

L’écriture décimale de √7 = 2,6457513110… est :

Je me prépare : ce que je sais déjà

Ce que je sais déjà.

1Écriture finie2,25 = 225/100 : une fraction décimale.

2Illimitée et périodique1,2626… = 125/99 : elle s’écrit aussi sous forme de fraction.

3Illimitée et non périodique√7 = 2,6457513110… et π = 3,1415926535…

?La question d’aujourd’huiComment appelle-t-on ces nombres ? Lesquels s’écrivent sous forme de fraction ?

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Classe : 17/5 = 3,4 est un nombre décimal ; −1/3 est un nombre rationnel, pas décimal.

Montre que 2,7575… est un nombre rationnel : il est égal à 273/99.

Montre que 3π est un nombre irrationnel : 3π = 9,4247779607…

Avec une justification à chaque fois : voilà la tâche réussie.

Voici les critères pour réussir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

,J’écris le nombre sous forme décimale : avec la calculatrice, ou en divisant.

?Je reconnais la nature de l’écriture : finie, illimitée et périodique, ou illimitée et non périodique.

ℝJe conclus : finie ou périodique → rationnel ; non périodique → irrationnel. Tous sont réels.

Voici ma méthode

Pour classer un nombre, j’utilise toujours la même méthode, en 3 étapes.

1J’écris l’écriture décimaleJe divise ou j’utilise la calculatrice. Un nombre sans virgule est un entier.

2Je reconnais sa natureFinie, illimitée et périodique, ou illimitée et non périodique.

3Je conclusFinie : décimal, donc rationnel. Périodique : rationnel. Non périodique : irrationnel. Tous sont réels.

Je retiens : les définitions

Je te montre comment je fais

Rationnel ou irrationnel ?

1. Définition 1Les nombres qui ont une écriture décimale finie ou illimitée et périodique s’écrivent sous forme de fraction a/b, où a et b sont des entiers et b ≠ 0. On les appelle les nombres rationnels.
2. Exemples : 2,25 = 63/28 ; 0,714285714285… = 45/63.
3. Définition 2Les nombres qui ont une écriture décimale illimitée et non périodique ne s’écrivent pas sous forme de fraction. On les appelle les nombres irrationnels. Exemples : √7 = 2,6457513110… ; π = 3,1415926535…

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

45/63 = 0,714285714285… est :

Je retiens : les nombres réels

Je te montre comment je fais

Je regarde comment les nombres sont rangés.

1. Propriété 1Tout nombre entier est un nombre rationnel : 234 = 234/1 ; −4 = −4/1.
2. Un nombre décimal est aussi rationnel : 2,25 = 225/100.
3. Propriété 2Les nombres rationnels et les nombres irrationnels s’appellent les nombres réels.

Je retiens : la droite numérique

Je te montre comment je fais

La droite numérique.

1. Propriété 3Chaque nombre réel est représenté par un unique point sur la droite numérique : c’est l’abscisse de ce point.
2. Et à chaque point de la droite numérique correspond un unique nombre réel.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Le nombre π est :

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Classer un nombre17/5 est-il entier, décimal, rationnel ou irrationnel ?

1 J’écris l’écriture décimale2 Je reconnais sa nature3 Je conclus

Le nombre17/5

L’écriture3,4

La naturefinie

Je conclusdécimal

Essaie d’abord. 17/5 est :

1. J’écris l’écriture décimale17 ÷ 5 = 3,4.
2. Je reconnais sa natureL’écriture est finie et ce n’est pas un entier.
3. Je conclus17/5 est un nombre décimal, donc aussi rationnel et réel. Ce n’est pas un entier.

Je retiensUn nombre décimal est rationnel et réel. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Montrer qu’un nombre est rationnelMontre que 2,757575… est un nombre rationnel.

1 J’écris l’écriture décimale2 Je reconnais sa nature3 Je conclus

100b =275,7575…− b =2,7575…99b =273

Essaie d’abord. 2,7575… est :

1. J’écris l’écriture décimaleJe pose b = 2,757575… La période 75 a 2 chiffres : 100b = 275,7575…
2. Je reconnais sa natureL’écriture est illimitée et périodique. 100b − b = 275,7575… − 2,7575…, donc 99b = 273.
3. Je conclusb = 273/99 : c’est une fraction. Donc 2,7575… est un nombre rationnel.

Je retiensÉcriture périodique : le nombre s’écrit sous forme de fraction. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Montrer qu’un nombre est irrationnelMontre que 3π est un nombre irrationnel.

1 J’écris l’écriture décimale2 Je reconnais sa nature3 Je conclus

3 × π9,424777961

Essaie d’abord. 3π est :

1. J’écris l’écriture décimaleAvec la calculatrice : 3π = 9,4247779607…
2. Je reconnais sa natureAucun bloc ne se répète : l’écriture est illimitée et non périodique.
3. Je conclus3π ne s’écrit pas sous forme de fraction : c’est un nombre irrationnel.

Je retiensÉcriture illimitée et non périodique : irrationnel. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Yassine dit : « −4 n’est pas un nombre rationnel. » A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeYassine pense qu’un nombre négatif ne peut pas être rationnel.
2. Je me rappelleTout entier est rationnel : −4 = −4/1.
3. Je conclusYassine a tort : −4 est un entier, donc un rationnel.

Erreur 1 Oublier les nombres négatifs.

→ Un entier négatif est aussi un rationnel : −4 = −4/1.

Attention !

Les erreurs à éviter

Salma dit : « π = 3,14, donc π est un nombre décimal. » A-t-elle raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observe3,14 a une écriture finie : c’est un nombre décimal.
2. Je me rappelleπ = 3,1415926535… a une écriture illimitée et non périodique.
3. Je conclus3,14 est une valeur approchée de π. 3,14 ≠ π : π est irrationnel.

Erreur 2 Confondre un nombre et sa valeur approchée.

→ 3,14 est une valeur approchée de π, pas π.

Attention !

Les erreurs à éviter

Karim dit : « √9 est un nombre irrationnel. » A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeKarim voit le symbole √ et pense « irrationnel ».
2. Je me rappelle9 = 3², donc √9 = 3 (tâche 1).
3. Je conclus√9 est un entier, donc un rationnel. Je calcule toujours avant de conclure.

Erreur 3 Conclure seulement avec le symbole √.

→ Je calcule : √9 = 3, √36 = 6 sont des entiers.

On essaie ensemble

On applique la méthode ensemble, étape par étape.

AClasse le nombre −1/7.

1. −1/7 =

2. L’écriture est :

3. Donc −1/7 est :

On essaie ensemble

BMontre que 1,2323… est un nombre rationnel.

1. Je pose b = 1,2323… Je multiplie par :

2. 100b − b = 123,2323… − 1,2323… =

Pourquoi ? 3. Donc 1,2323… =

On essaie ensemble

CRemets les 3 étapes de la méthode dans le bon ordre.

Touche les 3 étapes de la méthode dans le bon ordre.

On essaie ensemble

DMontre que √29 est un nombre irrationnel.

1. Avec la calculatrice : √29 =

2. Donc :

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

−9 est :

Je m'entraîne

b

−9/2 est :

Je m'entraîne

c

5/6 est :

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

d

√11 est :

Je m'entraîne

e

−0,039 est :

Je m'entraîne

f

√36 est :

Je m'entraîne

g

2,1397979797… est un nombre rationnel, car :

Je m'entraîne

h

0,4545… =

Je m'entraîne

i

√19 est :

Dans la vie

Les nombres réels autour de nous.

Le matin, le thermomètre affiche −4 °C. Le nombre −4 est :

Dans la vie

Un carré a un côté de 1 m. Sa diagonale mesure √2 m = 1,4142135623… m. Cette longueur est :

Dans la vie

Une couturière note 2,236 m et √5 m. Elle dit : « Ces deux longueurs sont égales. » A-t-elle raison ?

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 6 questions : il faut 5 bonnes réponses du premier coup (80 %).

−11 est :

9/2 est :

1/3 est :

−√11 est un nombre irrationnel, car :

15,2536363636… est un nombre :

Je vérifie

39,328 est un nombre rationnel, car :

Défi

Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.

Une couturière note : 2,236 m ; 0,2363636… m ; √5 m ; 2 m. Elle dit : « Toutes ces longueurs sont égales. » A-t-elle raison ?

Défi

√2 est irrationnel. Et √2 × √2 ?

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Pour savoir si un nombre est rationnel, je commence par…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

1. RationnelÉcriture finie ou illimitée et périodique : il s’écrit sous forme de fraction.
2. IrrationnelÉcriture illimitée et non périodique : π, √2, √7…
3. Entier et décimalTout entier est décimal ; tout décimal est rationnel.
4. RéelRationnels et irrationnels sont les nombres réels : chacun a un point unique sur la droite numérique.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je classe un nombre : entier, décimal, rationnel ou irrationnel.

Je montre qu’un nombre est rationnel.

Je montre qu’un nombre est irrationnel.

Je classe les nombres dans un problème.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes sur les nombres rationnels et irrationnels.ManipulationJe classe un nombreÉcriture décimale, nature, conclusion : classe chaque nombre.JeuRationnel ou irrationnel ?Un nombre s’affiche : rationnel ou irrationnel ? Réponds vite.

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