Leçon 2 - Tâche 3 : Distinguer l’écriture décimale illimitée périodique et non périodique

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Leçon 2 - Tâche 3 sur 15

03Distinguer l’écriture décimale illimitée périodique et non périodique

Je peux reconnaître une écriture décimale finie, illimitée périodique ou illimitée non périodique, et écrire un nombre périodique sous forme de fraction.

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir son sens. Regarde les 8 cartes.

une puissance de 10

Touche pour retourner

une puissance de 10

10 ; 100 = 10² ; 1000 = 10³ ; 10000 = 10⁴…

une fraction décimale

Touche pour retourner

une fraction décimale

une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 : 225/10²

l’écriture décimale

Touche pour retourner

l’écriture décimale

l’écriture avec une virgule : 2,25

finie

Touche pour retourner

finie

les chiffres après la virgule s’arrêtent : 2,94

illimitée

Touche pour retourner

illimitée

les chiffres après la virgule ne s’arrêtent jamais : on écrit « … »

périodique

Touche pour retourner

périodique

un bloc de chiffres se répète sans fin : 1,108108108…

la période

Touche pour retourner

la période

le bloc qui se répète : dans 1,108108108…, la période est 108

non périodique

Touche pour retourner

non périodique

aucun bloc ne se répète : √10 = 3,16227766…

Je me prépare

Ce que tu sais déjà : les puissances de 10, les nombres décimaux, la racine carrée.

10³ =

294/100 =

√9 =

Je me prépare : j’observe la calculatrice

Je te montre comment je fais

C’est la question du livret. Avec la calculatrice, je calcule trois nombres. Que remarques-tu ?

147 ÷ 502,94

123 ÷ 1111,108108108

√103,16227766

1. 147/50 = 2,94 : les chiffres s’arrêtent.
2. 123/111 = 1,108108108… : le bloc 108 se répète.
3. √10 = 3,16227766… : aucun bloc ne se répète.

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Montre que 2,985 est une fraction décimale : 2,985 = 2985/10³.

Trouve la nature : 789/25 = 31,56 est finie ; √3 = 1,7320508… est illimitée et non périodique.

Écris sous forme de fraction : 1,262626… = 125/99.

Avec une justification à chaque fois : voilà la tâche réussie.

Voici les critères pour réussir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

10²Je compte les chiffres après la virgule : 2 chiffres, alors le dénominateur est 10² = 100.

?Je regarde les chiffres : ils s’arrêtent, un bloc se répète, ou aucun bloc ne se répète.

bPour un nombre périodique, je pose b, je multiplie, je soustrais, puis je divise.

Voici ma méthode

J’ai une méthode pour chaque question.

1Fraction décimaleJe compte les chiffres après la virgule : n chiffres. J’écris le nombre sans virgule sur 10ⁿ.

2La natureJe calcule avec la calculatrice. Les chiffres s’arrêtent : finie. Un bloc se répète : illimitée et périodique. Sinon : illimitée et non périodique.

3La fractionJe pose b. Je multiplie b par 10, 100 ou 1000 : autant de zéros que de chiffres dans la période. Je soustrais b. Je divise.

Je retiens : la fraction décimale

Je te montre comment je fais

La fraction décimale.

1. DéfinitionUne fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
2. Exemples : 225/10² = 2,25 ; 1/10³ = 0,001 ; −5/1 = −5.
3. Je retiensUn nombre décimal est une fraction décimale : 2,94 = 294/10² = 147/50.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Laquelle est une fraction décimale ?

Je retiens : les trois écritures

Je te montre comment je fais

Un nombre a l’une de ces trois écritures décimales.

1. Finie2,94 = 294/10² : c’est une fraction décimale.
2. Illimitée et périodique1,108108108… = 123/111 : la période est 108.
3. Illimitée et non périodique3,16227766… = √10 : aucun bloc ne se répète.
4. PropriétéTout nombre qui a une écriture décimale illimitée et périodique s’écrit sous forme de fraction.

Je retiens : π et les racines carrées

Je te montre comment je fais

La calculatrice n’affiche que 10 chiffres. Comment savoir ?

1. Le nombre π = 3,14159265… et √2, √3, √5, √7, √10… ont une écriture illimitée et non périodique.
2. Je retiensπ, et la racine carrée d’un nombre entier qui n’est pas le carré d’un entier, ont une écriture décimale illimitée et non périodique. Mais √9 = 3 : 9 = 3².

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

L’écriture décimale de √5 est :

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Une fraction décimaleMontre que 2,985 est une fraction décimale.

1 Je compte les chiffres2 J’écris le dénominateur3 Je conclus

Le nombre2,985

Les chiffres3 chiffres

Le dénominateur10³

La fraction2985/10³

Essaie d’abord. Le dénominateur est :

1. Je compte les chiffres2,985 a 3 chiffres après la virgule.
2. J’écris le dénominateurLe dénominateur est 10³ = 1000.
3. Je conclus2,985 = 2985/1000 = 2985/10³ : c’est une fraction décimale.

Je retiens3 chiffres après la virgule : 3 zéros, donc 1000 = 10³. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 La nature de l’écritureTrouve la nature de l’écriture décimale de 789/25, 59679/9990 et √3.

1 Les chiffres s’arrêtent2 Un bloc se répète3 Aucun bloc ne se répète

789 ÷ 2531,56

59679 ÷ 99905,973873874

√31,732050808

Essaie d’abord. L’écriture de 59679/9990 est :

1. Les chiffres s’arrêtent789/25 = 31,56 : l’écriture est finie. C’est une fraction décimale.
2. Un bloc se répète59679/9990 = 5,9738738738… : l’écriture est illimitée et périodique, de période 738.
3. Aucun bloc ne se répète√3 = 1,7320508075… : l’écriture est illimitée et non périodique.

Je retiensJe regarde les chiffres de l’écran : un bloc qui revient, c’est une période. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 D’une écriture périodique à une fractionÉcris 1,262626… sous forme de fraction.

1 Je pose b et je multiplie2 Je soustrais3 Je divise

100b =126,2626…− b =1,2626…99b =125

Essaie d’abord. Je multiplie b par :

1. Je pose b et je multiplieJe pose b = 1,262626… La période 26 a 2 chiffres : je multiplie par 100. 100b = 126,2626…
2. Je soustrais100b − b = 126,2626… − 1,2626… Les chiffres après la virgule disparaissent : 99b = 125.
3. Je diviseb = 125/99. Donc 1,262626… = 125/99.

Je retiensJe vérifie à la calculatrice : 125 ÷ 99 = 1,262626263. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Yassine dit : « 59679/9990 = 5,973873874 se termine par 874 : ce n’est pas périodique. » A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeL’écran affiche 5,973873874 : le dernier chiffre est arrondi.
2. Je me rappelleJe cherche un bloc qui se répète dans les autres chiffres : 738, 738…
3. Je conclusYassine a tort : l’écriture est illimitée et périodique.

Erreur 1 Croire le dernier chiffre de l’écran.

→ La calculatrice arrondit le dernier chiffre : je ne le regarde pas.

Attention !

Les erreurs à éviter

Salma veut écrire 0,4545… sous forme de fraction. Elle multiplie par 10. A-t-elle raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeSalma multiplie 0,4545… par 10 : 10b − b = 4,5454… − 0,4545…
2. Je me rappelleLa période 45 a 2 chiffres : je multiplie par 100.
3. Je conclus100b − b = 45,4545… − 0,4545…, donc 99b = 45 et b = 45/99.

Erreur 2 Multiplier par la mauvaise puissance de 10.

→ Autant de zéros que de chiffres dans la période.

Attention !

Les erreurs à éviter

Karim écrit : « 0,333 = 0,333… ». A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observe0,333 a 3 chiffres après la virgule : elle est finie. 0,333 = 333/1000.
2. Je me rappelle0,333… a des « … » : les 3 ne s’arrêtent jamais. 0,333… = 1/3.
3. Je conclusCe sont deux nombres différents : je regarde toujours s’il y a « … ».

Erreur 3 Oublier les « … ».

→ Sans « … », l’écriture est finie ; avec « … », elle est illimitée.

On essaie ensemble

On applique la méthode ensemble, étape par étape.

AMontre que 23,15 est une fraction décimale.

1. Combien de chiffres après la virgule dans 23,15 ?

2. Le dénominateur est :

Pourquoi ? 3. Donc 23,15 =

On essaie ensemble

BTrouve la nature de l’écriture décimale de 33/13.

1. La calculatrice affiche 33/13 = 2,538461538. Quel bloc se répète ?

L’écriture décimale de 33/13 est :

On essaie ensemble

CRemets dans l’ordre les étapes pour écrire un nombre périodique sous forme de fraction.

Touche les 4 étapes dans le bon ordre.

On essaie ensemble

DÉcris 53,789789… sous forme de fraction.

1. Je pose b = 53,789789… Je multiplie b par :

2. 1000b − b = 53789,789… − 53,789… =

3. Donc b =

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

138,456 =

Je m'entraîne

b

L’écriture décimale de 13/5 = 2,6 est :

Je m'entraîne

c

L’écriture décimale de √7 = 2,645751311… est :

Je m'entraîne

d

0,454545… =

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

e

31,5624 =

Je m'entraîne

f

L’écriture décimale de 45/99 = 0,454545454… est :

Je m'entraîne

g

L’écriture décimale de π = 3,141592653… est :

Je m'entraîne

h

612,121212… =

Je m'entraîne

i

Pour écrire 123,18951895… sous forme de fraction, je multiplie b par :

Dans la vie

Les écritures décimales autour de nous.

Au marché, Sara achète 0,75 kg de dattes. Écris 0,75 sous forme de fraction décimale.

Dans la vie

Trois amis partagent 10 dirhams en parts égales. La calculatrice affiche 10 ÷ 3 = 3,333333333. L’écriture de 10/3 est :

Dans la vie

Un carré a une aire de 2 m². Son côté mesure √2 m = 1,414213562… m. L’écriture de ce nombre est :

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 6 questions : il faut 5 bonnes réponses du premier coup (80 %).

2,35 =

L’écriture décimale de 179/50 = 3,58 est :

L’écriture décimale de 74/99 = 0,747474747… est :

L’écriture décimale de √11 = 3,31662479… est :

0,363636… =

Je vérifie

2,777… =

Défi

Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.

Un commerçant a trois rubans : A = 0,75 m ; B = 0,871010010001… m ; C = 0,545454… m. Il dit : « Les trois longueurs s’écrivent sous forme de fraction. » A-t-il raison ?

Défi

0,999… =

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Pour écrire 0,1515… sous forme de fraction, je multiplie b par…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

1. Fraction décimaleUn dénominateur puissance de 10 : 2,985 = 2985/10³.
2. Trois écrituresFinie (2,94), illimitée et périodique (1,108108…), illimitée et non périodique (3,16227766…).
3. Non périodiqueπ, et la racine carrée d’un entier qui n’est pas le carré d’un entier.
4. Périodique → fractionJe pose b, je multiplie par 10, 100 ou 1000, je soustrais b, je divise : 1,2626… = 125/99.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je montre qu’un nombre décimal est une fraction décimale.

Je trouve la nature d’une écriture décimale.

J’écris un nombre périodique sous forme de fraction.

Je reconnais les écritures décimales dans un problème.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes sur les écritures décimales.ManipulationDe la période à la fractionPose b, multiplie, soustrais, divise : le nombre périodique devient une fraction.JeuFinie, périodique ou pas ?Lis l’écran de la calculatrice : finie, périodique ou non périodique ?

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