Leçon 2 - Tâche 2 : Comparer les racines carrées des nombres

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Leçon 2 - Tâche 2 sur 15

02Comparer les racines carrées des nombres

Je peux comparer deux racines carrées, ou un nombre et une racine carrée, en comparant leurs carrés.

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir son sens. Regarde les 8 cartes.

comparer

Touche pour retourner

comparer

dire quel nombre est le plus petit et quel nombre est le plus grand

inférieur à

Touche pour retourner

inférieur à

plus petit que, symbole < : 3 < 5

supérieur à

Touche pour retourner

supérieur à

plus grand que, symbole > : 5 > 3

le carré d’un nombre

Touche pour retourner

le carré d’un nombre

le nombre multiplié par lui-même : 5² = 25

un nombre positif

Touche pour retourner

un nombre positif

un nombre supérieur ou égal à 0

la racine carrée

Touche pour retourner

la racine carrée

√a : le nombre positif dont le carré est a

l’ordre croissant

Touche pour retourner

l’ordre croissant

du plus petit au plus grand

la droite numérique

Touche pour retourner

la droite numérique

une droite graduée : un nombre placé plus à droite est plus grand

Je me prépare

Ce que tu sais déjà : les carrés et la comparaison des nombres.

(√7)² =

4² =

Compare : 15 … 16

Compare : 7 … 17/2

Je me prépare

C’est la question du livret : je lis la droite numérique.

Compare : √2 … √5

Compare : √10 … 3

Je me prépare : ce que je sais déjà

Ce que je sais déjà.

√Le carré d’une racine carrée(√a)² = a : par exemple (√11)² = 11.

<Comparer deux nombresSur la droite numérique, le nombre le plus à droite est le plus grand : 3 < 5.

+Une racine carrée est positive√a est toujours un nombre positif.

?La question d’aujourd’huiSans calculatrice, comment savoir si √11 est plus petit ou plus grand que √13 ?

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Compare : √11 et √13 ; 5 et √24 ; √17 et √53/3.

√11 < √13

√24 < 5

√17 < √53/3

Sans calculatrice, avec une justification : voilà la tâche réussie.

Voici les critères pour réussir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

x²Je calcule le carré de chaque nombre : (√11)² = 11 et 5² = 25.

<Je compare les carrés : ce sont des nombres simples, sans racine carrée.

=Je conclus avec le même symbole : deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

Voici ma méthode

Pour comparer, j’utilise toujours la même méthode, en 3 étapes.

1J’écris les carrésJ’écris le carré de chaque nombre : (√a)² = a, et pour un nombre comme 5, je calcule 5² = 25.

2Je compare les carrésJe compare les deux carrés avec < ou >.

3Je conclusLes deux nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés : j’écris « donc » et le même symbole.

Je retiens : la propriété

Je te montre comment je fais

Je regarde la droite numérique.

1. Sur la droite numérique, √2 est à gauche de √5, et √5 est à gauche de √10.
2. Et 2 < 5 < 10 : les racines carrées sont rangées dans le même ordre que les nombres.
3. PropriétéPour tous nombres positifs a et b : si a < b, alors √a < √b.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Compare : √6 … √8

Je retiens : comparer avec les carrés

Je te montre comment je fais

Les exemples du livret.

1. Exemple 1 : 5 < 11, donc √5 < √11.
2. Exemple 2 : 3 < 4, donc √3 < √4. Or √4 = 2, donc √3 < 2.
3. Je retiensPour comparer deux nombres positifs, je peux comparer leurs carrés : ils sont rangés dans le même ordre.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Compare : 3 … √8

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Deux racines carréesCompare √7 et √10.

1 J’écris les carrés2 Je compare les carrés3 Je conclus

Les nombres√7 et √10

Les carrés7 et 10

Je compare7 < 10

Je conclus√7 < √10

Essaie d’abord. Le bon symbole est :

1. J’écris les carrés(√7)² = 7 et (√10)² = 10.
2. Je compare les carrés7 < 10.
3. Je conclusDonc √7 < √10.

Je retiensJe vérifie : le plus grand nombre sous le radical donne la plus grande racine carrée. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Un nombre et une racine carréeCompare 4 et √15.

1 J’écris les carrés2 Je compare les carrés3 Je conclus

Les nombres4 et √15

Les carrés16 et 15

Je compare16 > 15

Je conclus4 > √15

Essaie d’abord. Le bon symbole est :

1. J’écris les carrés4² = 16 et (√15)² = 15.
2. Je compare les carrés16 > 15.
3. Je conclusDonc 4 > √15, c’est-à-dire √15 < 4.

Je retiensJe vérifie : 4 = √16 et 16 > 15. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Une fraction sous le radicalCompare √7 et √17/2.

1 J’écris les carrés2 Je compare les carrés3 Je conclus

Les nombres√7 et √17/2

Les carrés7 et 17/2

Je compare7 < 17/2

Je conclus√7 < √17/2

Essaie d’abord. Le bon symbole est :

1. J’écris les carrés(√7)² = 7 et (√17/2)² = 17/2.
2. Je compare les carrés7 = 14/2 et 14 < 17, donc 7 < 17/2.
3. Je conclusDonc √7 < √17/2.

Je retiensJe vérifie : j’ai écrit les deux carrés avec le même dénominateur. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Yassine écrit : 5 < √24, car 5 < 24. A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeYassine compare 5 et 24, sans mettre 5 au carré.
2. Je me rappelleJe compare les carrés : 5² = 25 et (√24)² = 24.
3. Je conclusC’est faux : 25 > 24, donc 5 > √24.

Erreur 1 Comparer un nombre avec le nombre sous le radical.

→ Je mets toujours les deux nombres au carré avant de comparer.

Attention !

Les erreurs à éviter

Salma compare √17 et √53/3 : « 17 < 53 ». Sa justification est-elle juste ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeSalma compare 53 et 17 : elle oublie le dénominateur 3.
2. Je me rappelle(√53/3)² = 53/3, et 17 = 51/3.
3. Je conclus51 < 53, donc √17 < √53/3. La réponse est juste, mais la justification était fausse.

Erreur 2 Oublier le dénominateur.

→ J’écris les deux carrés avec le même dénominateur avant de comparer.

Attention !

Les erreurs à éviter

Faut-il une calculatrice pour comparer √45 et √50 ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeKarim veut comparer √45 et √50 avec la calculatrice.
2. Je me rappelleLa consigne dit : sans calculer de valeur approchée. Je compare les carrés : 45 et 50.
3. Je conclus45 < 50, donc √45 < √50. Pas besoin de calculatrice.

Erreur 3 Chercher des valeurs approchées.

→ La propriété suffit : je compare les nombres sous le radical.

On essaie ensemble

On applique la méthode ensemble, étape par étape.

ACompare √11 et √13.

1. (√11)² =

2. (√13)² =

3. Je compare les carrés : 11 … 13

Pourquoi ? 4. Donc √11 … √13

On essaie ensemble

BCompare 5 et √24.

1. 5² = … et (√24)² = …

2. Donc 5 … √24

On essaie ensemble

CRemets les 3 étapes de la méthode dans le bon ordre.

Touche les 3 étapes de la méthode dans le bon ordre.

On essaie ensemble

DCompare √17 et √53/3.

J’écris 17 avec le dénominateur 3 : 17 =

Compare : √17 … √53/3

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

Compare : √17 … √19

Je m'entraîne

b

Compare : 6 … √35

Je m'entraîne

c

Compare : √19 … √77/4

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

d

Compare : √21 … √23

Je m'entraîne

e

Compare : 7 … √48

Je m'entraîne

f

Compare : √23 … √70/3

Je m'entraîne

g

Compare : 2,5 … √6

Je m'entraîne

h

Compare : √0,5 … 0,7

Je m'entraîne

i

Range dans l’ordre croissant : √10 ; 3 ; √7

Dans la vie

Les racines carrées autour de nous.

Dans une course d’orientation, Yassine parcourt √45 km et Sara parcourt √50 km. Qui a parcouru la plus grande distance ?

Dans la vie

Un terrain carré a une aire de 30 m² : son côté mesure √30 m. Un autre terrain carré a un côté de 5,5 m. Quel terrain a le plus grand côté ?

Dans la vie

Une échelle mesure √13 m. Un mur mesure 3,5 m de haut. L’échelle est-elle plus longue que le mur est haut ?

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 6 questions : il faut 5 bonnes réponses du premier coup (80 %).

Compare : √29 … √31

Compare : 8 … √63

Compare : √45/2 … √22

Compare : 4 … √17

Range dans l’ordre croissant : 5 ; √26 ; √24

Je vérifie

Compare : 1,5 … √2

Défi

Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.

Range dans l’ordre croissant : √50 ; 7 ; √45 ; 6,5

Défi

Combien de nombres entiers n vérifient 3 < √n < 4 ?

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Pour comparer deux nombres positifs, je commence par…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

1. La propriétéPour tous nombres positifs a et b : si a < b, alors √a < √b.
2. La méthodeJ’écris les carrés, je compare les carrés, je conclus avec le même symbole.
3. Avec un nombrePour comparer 5 et √24, je compare 5² = 25 et 24.
4. Avec une fractionJ’écris les deux carrés avec le même dénominateur : 17 = 51/3.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je compare deux racines carrées.

Je compare un nombre et une racine carrée.

Je compare avec une fraction sous le radical.

Je range des nombres dans l’ordre croissant.

Je compare des longueurs dans un problème.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes sur la comparaison des racines carrées.ManipulationJe compare avec les carrésÉcris les carrés, compare-les, puis conclus.JeuLe duel des racinesDeux nombres : touche vite le plus grand.

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