Leçon 1 - Tâche 8 : Résoudre des problèmes d’arithmétique en utilisant le PGCD et le PPCM

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Leçon 1 - Tâche 8 sur 8

08Résoudre des problèmes d’arithmétique en utilisant le PGCD et le PPCM

Je peux choisir entre le PGCD et le PPCM pour résoudre un problème, faire le calcul et répondre par une phrase.

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir son sens. Regarde les 9 cartes.

résoudre

Touche pour retourner

résoudre

trouver la solution d’un problème

un problème d’arithmétique

Touche pour retourner

un problème d’arithmétique

un problème avec des entiers, des diviseurs et des multiples

le plus grand nombre

Touche pour retourner

le plus grand nombre

souvent le signe du PGCD : paquets, lots, équipes

identiques

Touche pour retourner

identiques

tous pareils : même contenu

sans reste

Touche pour retourner

sans reste

on utilise tout, il ne reste rien

ensemble à nouveau

Touche pour retourner

ensemble à nouveau

souvent le signe du PPCM : sonneries, départs, passages

toutes les … minutes

Touche pour retourner

toutes les … minutes

un événement qui se répète régulièrement

quel / combien

Touche pour retourner

quel / combien

les mots de la question

une phrase réponse

Touche pour retourner

une phrase réponse

je termine toujours par une phrase

Je me prépare

Ce que tu sais déjà (tâches 3, 4 et 6).

PGCD et PPCM.

PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b.

Pour calculer le PGCD avec les décompositions en facteurs premiers, je prends :

Je me prépare

Je calcule.

PGCD(360 ; 300) =

PPCM(6 ; 8) =

Je me prépare : ce que je sais déjà

Ce que je sais déjà.

÷Le PGCDJe sais calculer un PGCD : énumération, algorithme d’Euclide, décomposition.

×Le PPCMJe sais calculer un PPCM : énumération, formule, décomposition.

Question : une cloche sonne toutes les 6 minutes, une autre toutes les 8 minutes. Elles sonnent ensemble à 10 h. Quel outil utiliser pour savoir quand elles sonneront ensemble à nouveau ?

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Résous : Nadia a 48 bonbons à la fraise et 36 au citron. Combien de paquets identiques, au maximum, avec tous les bonbons ? Puis : deux cloches sonnent toutes les 6 et 8 minutes, ensemble à 10 h. Quand sonneront-elles ensemble à nouveau ?

PGCD(48 ; 36) = 12 : 12 paquets, chacun avec 4 bonbons à la fraise et 3 au citron.

PPCM(6 ; 8) = 24 : les cloches sonneront ensemble à 10 h 24.

Voici ce qu’il faut savoir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

÷Un partage en paquets identiques, sans reste, le plus grand nombre : c’est le PGCD.

⏰Deux événements qui se reproduisent ensemble : c’est le PPCM.

✍Je calcule, puis je réponds toujours par une phrase.

Voici ma méthode A : un partage (PGCD)

Pour un problème de partage, j’utilise cette méthode, en 3 étapes.

1Je choisis l’outil : PGCDPartage maximal en paquets identiques, sans reste.

2Je calcule le PGCDLe PGCD des deux quantités donne le nombre maximum de paquets.

3Je divise et je répondsJe divise chaque quantité par le PGCD (contenu d’un paquet), puis j’écris une phrase.

Voici ma méthode B : une rencontre (PPCM)

Pour un problème de rencontre, j’utilise cette méthode, en 3 étapes.

1Je choisis l’outil : PPCMDeux événements réguliers qui se reproduisent ensemble.

2Je calcule le PPCMLe PPCM des deux durées donne le temps avant la prochaine rencontre.

3J’ajoute et je répondsJ’ajoute le PPCM à l’heure de départ, puis j’écris une phrase.

Je retiens : choisir l’outil

Je te montre comment je fais

Comment choisir entre le PGCD et le PPCM ?

PGCD

• le plus grand nombre de groupes identiques
• une répartition sans reste
• des paquets, des lots, des équipes identiques

PPCM

• le premier moment où deux événements se reproduisent ensemble
• une durée commune
• un retour simultané

1. « Le plus grand nombre de paquets identiques », « sans reste » : je cherche un diviseur commun, le plus grand.
2. « Ensemble à nouveau », « toutes les … minutes » : je cherche un multiple commun, le plus petit.
3. Je retiensJ’utilise le PGCD pour un partage maximal ; le PPCM pour un retour simultané. Toujours : je calcule, puis je réponds par une phrase.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Maman a 30 pommes et 45 oranges. Elle fait le plus grand nombre de paniers identiques avec tous les fruits. Pour trouver ce nombre, je calcule :

PGCD(45 ; 30) = 15. Le plus grand nombre de paniers est :

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Deux bus partent ensemble à 8 h. L’un repasse toutes les 45 minutes, l’autre toutes les 30 minutes. Ils repartent ensemble après :

PPCM(45 ; 30) = 90. Ils repartent ensemble à :

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Méthode ANadia a 48 bonbons à la fraise et 36 au citron. Elle fait des paquets identiques avec tous les bonbons. Quel est le plus grand nombre de paquets ? Que contient chaque paquet ?

1 Je choisis : PGCD2 Je calcule le PGCD3 Je divise et je réponds

48 = 36 × 1 + 12

36 = 12 × 3 + 0

PGCD(48 ; 36) = 12

12 paquets de 4 bonbons à la fraise et 3 au citron.

Essaie d’abord. Quel outil ?

1. Je choisis l’outil : PGCDDes paquets identiques, le plus grand nombre, avec tous les bonbons : partage maximal.
2. Je calcule le PGCD48 = 36 × 1 + 12 ; 36 = 12 × 3 + 0. Donc PGCD(48 ; 36) = 12.
3. Je divise et je réponds48 ÷ 12 = 4 et 36 ÷ 12 = 3. Nadia peut faire au maximum 12 paquets, avec 4 bonbons à la fraise et 3 au citron dans chacun.

Je retiensJe vérifie : 12 × 4 = 48 et 12 × 3 = 36. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Méthode BUne cloche sonne toutes les 6 minutes, une autre toutes les 8 minutes. Elles sonnent ensemble à 10 h. À quelle heure sonneront-elles ensemble à nouveau ?

1 Je choisis : PPCM2 Je calcule le PPCM3 J’ajoute et je réponds

Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24 · Multiples de 8 : 8, 16, 24 → à 10 h 24.

Essaie d’abord. Quel outil ?

1. Je choisis l’outil : PPCMLes deux cloches sonneront ensemble à nouveau : retour simultané.
2. Je calcule le PPCMPGCD(6 ; 8) = 2, donc PPCM(6 ; 8) = 6 × 8 ÷ 2 = 24 minutes.
3. J’ajoute et je réponds10 h + 24 min = 10 h 24. Les deux cloches sonneront ensemble à nouveau à 10 h 24.

Je retiensJe vérifie : 24 = 6 × 4 = 8 × 3. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Méthode AUne bibliothèque a 144 livres de mathématiques et 96 livres de sciences. Elle fait le plus grand nombre de lots identiques avec tous les livres. Combien de lots ? Que contient chaque lot ?

1 Je choisis : PGCD2 Je calcule le PGCD3 Je divise et je réponds

144 = 96 × 1 + 48

96 = 48 × 2 + 0

PGCD(144 ; 96) = 48

48 lots de 3 livres de mathématiques et 2 livres de sciences.

Essaie d’abord. Combien de lots ?

1. Je choisis l’outil : PGCDDes lots identiques, le plus grand nombre, avec tous les livres.
2. Je calcule le PGCD144 = 96 × 1 + 48 ; 96 = 48 × 2 + 0. PGCD(144 ; 96) = 48.
3. Je divise et je réponds144 ÷ 48 = 3 et 96 ÷ 48 = 2. La bibliothèque peut faire 48 lots, avec 3 livres de mathématiques et 2 livres de sciences chacun.

Je retiensJe vérifie : 48 × 3 = 144 et 48 × 2 = 96. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 4 Méthode BÀ El Jadida, un phare s’allume toutes les 20 secondes, un autre toutes les 12 secondes. Ils s’allument ensemble à 21 h. Quand s’allumeront-ils de nouveau ensemble ?

1 Je choisis : PPCM2 Je calcule le PPCM3 J’ajoute et je réponds

PPCM(20 ; 12) = 60 s = 1 min → à 21 h 01.

Essaie d’abord. PPCM(20 ; 12) =

1. Je choisis l’outil : PPCMLes deux phares s’allument ensemble à nouveau : retour simultané.
2. Je calcule le PPCM20 = 2² × 5 et 12 = 2² × 3, donc PPCM(20 ; 12) = 2² × 3 × 5 = 60 secondes.
3. J’ajoute et je réponds60 secondes = 1 minute. Les deux phares s’allumeront de nouveau ensemble 1 minute plus tard, à 21 h 01.

Je retiensJe vérifie : 60 = 20 × 3 = 12 × 5. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Yassine : « Le plus grand nombre de paquets est PPCM(48 ; 36) = 144. » A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeYassine a calculé PPCM(48 ; 36) = 144 pour un partage en paquets.
2. Je me rappelleOn ne peut pas faire 144 paquets avec 48 bonbons ! Un partage sans reste, c’est un diviseur commun : le PGCD.
3. Je conclusLe plus grand nombre de paquets est PGCD(48 ; 36) = 12.

Erreur 1 Utiliser le PPCM pour un partage.

→ Partage sans reste, paquets identiques : PGCD.

Attention !

Les erreurs à éviter

Salma : « Les deux bus repartent ensemble après 45 + 30 = 75 minutes. » A-t-elle raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeSalma additionne les durées : 45 + 30 = 75 minutes.
2. Je me rappelleLe moment commun doit être un multiple de 45 et de 30. 75 n’est pas un multiple de 30.
3. Je conclusLes bus repartent ensemble après PPCM(45 ; 30) = 90 minutes, à 9 h 30.

Erreur 2 Additionner les durées.

→ Un retour simultané : le PPCM des durées.

Attention !

Les erreurs à éviter

Karim : « PPCM(6 ; 8) = 24, donc les cloches sonnent ensemble à 24 h. » A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeKarim a trouvé 24 minutes, mais il a écrit « à 24 h ».
2. Je me rappelleLe PPCM est une durée : je l’ajoute à l’heure de départ.
3. Je conclus10 h + 24 min = 10 h 24. Je termine par une phrase qui répond à la question.

Erreur 3 Oublier d’ajouter le PPCM à l’heure de départ.

→ Le PPCM est une durée : j’ajoute, puis je réponds par une phrase.

On essaie ensemble

On applique la méthode A ensemble.

ALes colis solidaires.

Une association a 90 paquets de gâteaux et 105 bouteilles de jus. Elle fait le plus grand nombre de colis identiques avec tout. 1. L’outil est :

2. 105 = 90 × 1 + 15 ; 90 = 15 × 6 + 0. Le nombre de colis est :

3. Chaque colis contient :

On essaie ensemble

On applique la méthode B ensemble.

BLes machines de l’usine.

Dans une usine, une machine s’arrête toutes les 24 minutes, une autre toutes les 36 minutes. Premier arrêt commun à 7 h. 1. PPCM(24 ; 36) =

2. Le prochain arrêt commun est à :

On essaie ensemble

CRemets les étapes dans le bon ordre.

Touche les 3 étapes de la méthode B dans le bon ordre.

On essaie ensemble

DRelie chaque situation à son outil.

« Partage sans reste » : j’utilise…

« Un retour simultané » : j’utilise…

On essaie ensemble

ELes bouquets.

Un fleuriste a 56 roses et 40 tulipes. Il fait le plus grand nombre de bouquets identiques avec toutes les fleurs. Combien de bouquets ?

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

Un professeur a 24 stylos et 18 cahiers. Il fait le plus grand nombre de lots identiques avec tout. Combien de lots ?

Je m'entraîne

b

Dans chacun de ces 6 lots, il y a :

Je m'entraîne

c

Deux feux clignotent toutes les 4 s et toutes les 10 s. Ils clignotent ensemble. Dans combien de secondes clignoteront-ils ensemble de nouveau ?

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

d

Ahmed va à la piscine tous les 6 jours, Rim tous les 9 jours. Ils y sont ensemble le 1er mars. Ils y seront ensemble de nouveau le :

Je m'entraîne

e

On découpe une plaque de 84 cm sur 60 cm en carrés identiques, les plus grands possible, sans perte. Quel est le côté des carrés ?

Je m'entraîne

f

Combien de carrés de 12 cm obtient-on avec la plaque de 84 cm sur 60 cm ?

Je m'entraîne

g

Un train passe toutes les 15 min, un bus toutes les 20 min. Ils passent ensemble à 14 h. Prochain passage commun ?

Je m'entraîne

h

Pour « le plus grand nombre d’équipes identiques avec 30 filles et 42 garçons », je calcule :

Dans la vie

Les problèmes autour de nous.

Pour la fête du Trône, une école de Khouribga a 120 drapeaux et 84 ballons. On fait le plus grand nombre de lots identiques avec tout. Combien de lots, et que contient chaque lot ?

Dans la vie

Au souk de Khouribga, un vendeur de menthe passe toutes les 12 min et un vendeur de pain toutes les 16 min. Ils passent ensemble à 9 h. Prochain passage commun ?

Dans la vie

Une salle rectangulaire mesure 6 m sur 4,8 m, soit 600 cm sur 480 cm. On la couvre de dalles carrées identiques, les plus grandes possible, sans couper. Côté d’une dalle ?

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 5 questions : il faut 4 bonnes réponses du premier coup (80 %).

« Le plus grand nombre de paquets identiques » : j’utilise…

On a 60 crayons rouges et 75 bleus, en trousses identiques, le plus grand nombre possible. Combien de trousses ?

Dans chaque trousse, il y a :

Deux alarmes sonnent toutes les 8 min et toutes les 12 min, ensemble à 18 h. Prochaine sonnerie commune ?

Deux bateaux reviennent au port tous les 10 jours et tous les 14 jours. Ils sont ensemble au port aujourd’hui. Dans combien de jours y seront-ils ensemble ?

Défi

Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.

Un nombre d’élèves est compris entre 100 et 150. On peut les ranger par 12 ou par 15 sans reste. Combien sont-ils ?

Défi

Trois feux clignotent toutes les 6 s, 8 s et 10 s. Ils clignotent ensemble. Dans combien de secondes clignoteront-ils de nouveau tous ensemble ?

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Pour un retour simultané, après avoir calculé le PPCM, je…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

PGCD

• le plus grand nombre de groupes identiques
• une répartition sans reste
• des paquets, des lots, des équipes identiques

PPCM

• le premier moment où deux événements se reproduisent ensemble
• une durée commune
• un retour simultané

1. Le PGCDPlus grand nombre de groupes identiques, partage sans reste : je calcule le PGCD, puis je divise chaque quantité.
2. Le PPCMPremier moment commun, retour simultané : je calcule le PPCM, puis je l’ajoute à l’heure de départ.
3. ToujoursJe réponds par une phrase complète.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je résous un problème de partage avec le PGCD.

Je résous un problème de rencontre avec le PPCM.

Je choisis le bon outil : PGCD ou PPCM.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes sur les problèmes de PGCD et PPCM.ManipulationJe résous un problèmeChoisis l’outil, calcule, puis choisis la phrase réponse.JeuPGCD ou PPCM ?Partage ou rencontre ? Choisis vite le PGCD ou le PPCM.Jeu de leçonEscape game : le manuscrit de la Quaraouiyine4 cadenas à ouvrir, un par tâche, de la tâche 1 à la tâche 4.Jeu de leçonEscape game : le trésor du ksar d’Aït-Ben-Haddou4 cadenas à ouvrir, un par tâche, de la tâche 5 à la tâche 8.Quiz de leçonLa course vers le sommet du ToubkalRéponds juste pour grimper : une erreur te fait redescendre d’une étape.Quiz : je réviseReviens plus tard5 questions au hasard sur la leçon, différentes à chaque visite.

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