07Simplifier une fraction et réduire deux fractions au même dénominateur
Je peux rendre une fraction irréductible avec le PGCD, et additionner ou soustraire deux fractions avec le PPCM des dénominateurs.
Mots-clés
Touche chaque carte pour voir son sens. Regarde les 9 cartes.
Je me prépare
Ce que tu sais déjà (tâches 3 et 4).
PGCD et PPCM.
Je me prépare
Ce que j’ai appris au primaire et en 1AC.
Je me prépare : ce que je sais déjà
Ce que je sais déjà.
Question : comment simplifier 30105 au maximum, en une seule étape ?
Voici la tâche à réussir
À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :
Rends la fraction 30105 irréductible, puis calcule 712 + 13.
PGCD(105 ; 30) = 15, donc 30105 = 30 ÷ 15105 ÷ 15 = 27.
PPCM(12 ; 3) = 12, donc 712 + 412 = 1112.
Voici ce qu’il faut savoir
Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.
Voici ma méthode 1 : rendre une fraction irréductible
Pour rendre une fraction irréductible, j’utilise cette méthode, en 3 étapes.
Voici ma méthode 2 : additionner ou soustraire
Pour additionner ou soustraire deux fractions, j’utilise cette méthode, en 3 étapes.
Je retiens : la définition
Je te montre comment je fais
Qu’est-ce qu’une fraction irréductible ?
- 65 : PGCD(6 ; 5) = 1. On ne peut plus simplifier.
- 812 : PGCD(12 ; 8) = 4. On peut encore simplifier : 812 = 23.
- Je retiensUne fraction a/b est irréductible si et seulement si a et b sont premiers entre eux (PGCD(a ; b) = 1).
Je retiens : je vérifie que j’ai compris
Je retiens : la propriété
Je te montre comment je fais
Le plus petit dénominateur commun.
- Pour 415 et 16, les dénominateurs sont 15 et 6.
- Les multiples communs de 15 et 6 sont 30, 60, 90, … Le plus petit est 30 = PPCM(15 ; 6).
- Je retiensLe plus petit dénominateur commun de deux fractions est le PPCM de leurs dénominateurs.
Je retiens : je vérifie que j’ai compris
J'étudie l'exemple
Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.
Je te montre comment je fais
Exemple 1 Méthode 1Rends la fraction 30105 irréductible.
105 = 30 × 3 + 15
30 = 15 × 2 + 0
PGCD(105 ; 30) = 15
30105=30 ÷ 15105 ÷ 15= 27
Essaie d’abord. Par quel nombre divises-tu ?
- Je détermine le PGCD105 = 30 × 3 + 15 ; 30 = 15 × 2 + 0. Donc PGCD(105 ; 30) = 15.
- Je divise par le PGCD30 ÷ 15 = 2 et 105 ÷ 15 = 7.
- Je conclusLa forme irréductible de 30105 est 27.
J'étudie l'exemple
Je te montre comment je fais
Exemple 2 Méthode 1Montre que la fraction 2345 est irréductible.
45 = 23 × 1 + 22
23 = 22 × 1 + 1
22 = 1 × 22 + 0
PGCD(45 ; 23) = 1
Essaie d’abord. Que faut-il montrer ?
- Je détermine le PGCD45 = 23 × 1 + 22 ; 23 = 22 × 1 + 1 ; 22 = 1 × 22 + 0. PGCD(23 ; 45) = 1.
- Je conclus23 et 45 sont premiers entre eux : la fraction 2345 est irréductible.
J'étudie l'exemple
Je te montre comment je fais
Exemple 3 Méthode 2Calcule 712 + 13.
712+13
PPCM(12 ; 3) = 12
=712+412=1112
Essaie d’abord. Le dénominateur commun est :
- Je calcule le PPCM12 est un multiple de 3, donc PPCM(12 ; 3) = 12.
- Je réduis au même dénominateur13 = 1 × 43 × 4 = 412.
- J’effectue712 + 412 = 1112. PGCD(11 ; 12) = 1 : c’est fini.
J'étudie l'exemple
Je te montre comment je fais
Exemple 4 Méthode 2Calcule 415 − 16.
415−16
PPCM(15 ; 6) = 30
=830−530=330
=110
Essaie d’abord. Faut-il simplifier le résultat 3/30 ?
- Je calcule le PPCMPPCM(15 ; 6) = 30.
- Je réduis au même dénominateur415 = 830 et 16 = 530.
- J’effectue et je simplifie830 − 530 = 330 = 110.
Attention !
Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.
Les erreurs à éviter
Rim écrit : « 8136 = 2712, c’est la forme irréductible. » A-t-elle raison ?
Qu’en penses-tu ?
- J’observeRim divise 81 et 36 par 3 : 8136 = 2712. Mais PGCD(27 ; 12) = 3 : on peut encore simplifier.
- Je me rappellePour simplifier en une seule fois, je divise par le PGCD : PGCD(81 ; 36) = 9.
- Je conclus8136 = 94. 2712 n’est pas irréductible.
→ Je divise par le PGCD, ou je vérifie que le résultat est irréductible.
Attention !
Les erreurs à éviter
Amine écrit : « 16 + 512 = 618. » A-t-il raison ?
Qu’en penses-tu ?
- J’observeAmine a additionné les numérateurs et les dénominateurs.
- Je me rappelleJe réduis d’abord au même dénominateur : PPCM(6 ; 12) = 12.
- Je conclus16 + 512 = 212 + 512 = 712, pas 618.
→ Je garde le dénominateur commun et j’additionne seulement les numérateurs.
Attention !
Les erreurs à éviter
Nora écrit : « 29 = 218. » A-t-elle raison ?
Qu’en penses-tu ?
- J’observeNora a écrit 29 = 218 : elle a multiplié seulement le dénominateur.
- Je me rappellePour garder la même valeur, je multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
- Je conclus29 = 2 × 29 × 2 = 418.
→ Je multiplie en haut et en bas par le même nombre.
On essaie ensemble
On applique la méthode 1 ensemble.
On essaie ensemble
On applique la méthode 2 ensemble.
On essaie ensemble
On essaie ensemble
On essaie ensemble
Je m'entraîne
À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.
Je m'entraîne
Je m'entraîne
Je m'entraîne
Maintenant, sans indice.
Je m'entraîne
Je m'entraîne
Je m'entraîne
Je m'entraîne
Dans la vie
Les fractions autour de nous.
Dans la vie
Dans la vie
Je vérifie
C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 5 questions : il faut 4 bonnes réponses du premier coup (80 %).
Défi
Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.
Défi
Je résume : qu’ai-je appris ?
Dis avec tes mots ce que tu as appris.
Je résume : comment je fais ?
Je résume : ce que je retiens
Découvre les éléments un par un.
Ce que je dois retenir de cette tâche.
- Définitiona/b est irréductible si et seulement si a et b sont premiers entre eux.
- Méthode 1Je divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
- Méthode 2Le plus petit dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs. Je réduis, j’effectue, je simplifie.
Je résume : mon taux de maîtrise
Je résume : je sais faire
Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».
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