Leçon 1 - Tâche 6 : Décomposer un nombre en produit de nombres premiers

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Leçon 1 - Tâche 6 sur 8

06Décomposer un nombre en produit de nombres premiers

Je peux décomposer un entier en produit de facteurs premiers, et utiliser cette décomposition pour trouver un PGCD et un PPCM.

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir son sens. Regarde les 9 cartes.

décomposer

Touche pour retourner

décomposer

écrire un nombre comme un produit : 12 = 2 × 2 × 3

un facteur

Touche pour retourner

un facteur

chaque nombre d’un produit : dans 2 × 7, les facteurs sont 2 et 7

un facteur premier

Touche pour retourner

un facteur premier

un facteur qui est un nombre premier

une puissance

Touche pour retourner

une puissance

2 × 2 × 2 = 2³ : 2 est la base, 3 est l’exposant

l’exposant

Touche pour retourner

l’exposant

le nombre de fois où le facteur se répète

les divisions successives

Touche pour retourner

les divisions successives

on divise, puis on redivise le quotient, et ainsi de suite

l’arbre de factorisation

Touche pour retourner

l’arbre de factorisation

un schéma qui sépare un nombre en deux facteurs, puis encore

déterminer

Touche pour retourner

déterminer

trouver par un calcul

unique

Touche pour retourner

unique

il n’y en a qu’une seule

Je me prépare

Ce que tu sais déjà (tâche 5).

Les nombres premiers.

9 est un nombre premier.

Les diviseurs de 17 sont 1 et 17. Donc 17 est…

Je me prépare

Les puissances.

2 × 2 × 2 × 2 × 2 s’écrit :

2 × 2 × 3 × 3 × 5 s’écrit :

3 × 5 × 5 × 7 × 7 s’écrit :

Je me prépare : ce que je sais déjà

Ce que je sais déjà.

aⁿLes puissancesa × a × … × a (n fois) = aⁿ. Exemple : 3 × 3 × 3 = 3³.

7Les nombres premiersJe sais reconnaître un nombre premier : 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Question : comment écrire 156 et 360 comme des produits de nombres premiers ?

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Décompose 156 et 360 en produit de facteurs premiers, puis détermine PGCD(360 ; 156) et PPCM(360 ; 156).

156 = 2² × 3 × 13 et 360 = 2³ × 3² × 5.

PGCD = 2² × 3 = 12 et PPCM = 2³ × 3² × 5 × 13 = 4 680.

Voici ce qu’il faut savoir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

2Je divise par le plus petit nombre premier possible, encore et encore, jusqu’à 1.

×J’écris le résultat avec des puissances : 2 × 2 × 3 = 2² × 3.

↓PGCD : facteurs communs, plus petit exposant. PPCM : tous les facteurs, plus grand exposant.

Voici ma méthode 1 : les divisions successives

Pour décomposer un nombre, j’utilise cette méthode, en 3 étapes.

1Je divise par le plus petit premierJe divise le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise : 2, 3, 5, 7, …

2Je continue jusqu’à 1Je divise le quotient de la même façon, jusqu’à obtenir 1.

3J’écris le produitJ’écris le nombre comme produit des diviseurs premiers trouvés, avec des puissances.

Voici ma méthode 2 : le PGCD et le PPCM

Pour trouver le PGCD et le PPCM avec les décompositions, j’utilise cette méthode.

1Je décompose les deux nombresAvec la méthode 1.

2Je choisis les facteursPGCD : seulement les facteurs communs, avec le plus petit exposant. PPCM : tous les facteurs, avec le plus grand exposant.

3Je calculeJe calcule le produit obtenu.

Je retiens : le théorème

Je te montre comment je fais

Le théorème de la décomposition.

1. 156 = 2 × 78 = 2 × 2 × 39 = 2 × 2 × 3 × 13. Tous ces facteurs sont premiers.
2. Je retiensTout entier positif supérieur ou égal à 2 peut s’écrire de façon unique comme un produit de nombres premiers.
3. Je retiensC’est la décomposition en produit de facteurs premiers : 156 = 2² × 3 × 13.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

La décomposition en produit de facteurs premiers de 252 est :

Je retiens : l’arbre de factorisation

Je te montre comment je fais

Une autre façon : l’arbre de factorisation.

1. Je décompose 360 en deux facteurs : 360 = 90 × 4.
2. Je décompose les facteurs non premiers : 90 = 45 × 2 ; 4 = 2 × 2 ; 45 = 5 × 9 ; 9 = 3 × 3.
3. Je retiensAvec l’arbre de factorisation, je m’arrête quand toutes les branches finissent par un nombre premier : 360 = 2³ × 3² × 5.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Dans l’arbre, je m’arrête quand…

Je retiens : PGCD et PPCM

Je te montre comment je fais

Le PGCD et le PPCM avec les décompositions.

60 = 2² × 3 × 5

84 = 2² × 3 × 7

PGCD(60 ; 84) = 2² × 3 = 12

PPCM(60 ; 84) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420

1. 60 = 2² × 3 × 5 et 84 = 2² × 3 × 7.
2. Je retiensLe PGCD : seulement les facteurs communs, avec le plus petit exposant. PGCD(60 ; 84) = 2² × 3 = 12.
3. Je retiensLe PPCM : tous les facteurs, avec le plus grand exposant. PPCM(60 ; 84) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

60 = 2² × 3 × 5 et 84 = 2² × 3 × 7. PPCM(60 ; 84) = 2² × 3.

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Méthode 1Décompose 156 en produit de facteurs premiers.

1 Je divise par le plus petit premier2 Je continue jusqu’à 13 J’écris le produit

156	2
78	2
39	3
13	13
1

156 = 2² × 3 × 13

Essaie d’abord. Le premier diviseur est :

1. Je divise par le plus petit premier156 ÷ 2 = 78.
2. Je continue jusqu’à 178 ÷ 2 = 39 ; 39 ÷ 3 = 13 ; 13 ÷ 13 = 1.
3. J’écris le produit156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13.

Je retiensJe vérifie : 4 × 3 × 13 = 156. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Méthode 1Décompose 360 en produit de facteurs premiers.

1 Je divise par le plus petit premier2 Je continue jusqu’à 13 J’écris le produit

360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

360 = 2³ × 3² × 5

Essaie d’abord. Combien de fois divise-t-on par 2 ?

1. Je divise par le plus petit premier360 ÷ 2 = 180 ; 180 ÷ 2 = 90 ; 90 ÷ 2 = 45.
2. Je continue jusqu’à 145 n’est plus divisible par 2 : 45 ÷ 3 = 15 ; 15 ÷ 3 = 5 ; 5 ÷ 5 = 1.
3. J’écris le produit360 = 2³ × 3² × 5.

Je retiensJe vérifie : 8 × 9 × 5 = 360. C’est le même résultat qu’avec l’arbre. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Méthode 2Détermine PGCD(360 ; 156) et PPCM(360 ; 156).

1 Je décompose les deux nombres2 Je choisis les facteurs et les exposants3 Je calcule

360 = 2³ × 3² × 5

156 = 2² × 3 × 13

PGCD(360 ; 156) = 2² × 3 = 12

PPCM(360 ; 156) = 2³ × 3² × 5 × 13 = 4680

Essaie d’abord. Le facteur 13 est-il dans le PGCD ?

1. Je décompose les deux nombres360 = 2³ × 3² × 5 et 156 = 2² × 3 × 13.
2. Je choisis les facteursPGCD : facteurs communs 2 et 3, plus petits exposants : 2² × 3. PPCM : 2³ × 3² × 5 × 13.
3. Je calculePGCD(360 ; 156) = 4 × 3 = 12 et PPCM(360 ; 156) = 8 × 9 × 5 × 13 = 4 680.

Je retiensJe vérifie : 12 × 4 680 = 56 160 = 360 × 156. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 4 Méthode 2Détermine PGCD(1 050 ; 980) et PPCM(1 050 ; 980).

1 Je décompose les deux nombres2 Je choisis les facteurs et les exposants3 Je calcule

1050 = 2 × 3 × 5² × 7

980 = 2² × 5 × 7²

PGCD(1050 ; 980) = 2 × 5 × 7 = 70

PPCM(1050 ; 980) = 2² × 3 × 5² × 7² = 14700

Essaie d’abord. Dans le PGCD, l’exposant de 7 est :

1. Je décompose1 050 = 2 × 3 × 5² × 7 et 980 = 2² × 5 × 7².
2. Je choisis les facteursPGCD : 2 × 5 × 7. PPCM : 2² × 3 × 5² × 7².
3. Je calculePGCD(1 050 ; 980) = 70 et PPCM(1 050 ; 980) = 4 × 3 × 25 × 49 = 14 700.

Je retiensJe vérifie : 70 divise 1 050 (× 15) et 980 (× 14). ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Nora écrit : « 252 = 4 × 3² × 7. » Est-ce une décomposition en facteurs premiers ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observe4 n’est pas un nombre premier : 4 = 2 × 2.
2. Je me rappelleDans une décomposition en facteurs premiers, tous les facteurs sont premiers.
3. Je conclus252 = 2² × 3² × 7.

Erreur 1 Garder un facteur qui n’est pas premier.

→ Je vérifie que chaque facteur est premier : 2, 3, 5, 7, 11, …

Attention !

Les erreurs à éviter

Karim écrit : « PPCM(60 ; 84) = 2² × 3. » A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observe2² × 3 = 12 : ce sont les facteurs communs avec le plus petit exposant.
2. Je me rappelleC’est la règle du PGCD. Pour le PPCM, je prends tous les facteurs avec le plus grand exposant.
3. Je conclusPPCM(60 ; 84) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420.

Erreur 2 Confondre la règle du PGCD et celle du PPCM.

→ PGCD : communs, plus petit exposant. PPCM : tous, plus grand exposant.

Attention !

Les erreurs à éviter

Salma écrit : « 90 = 2 × 45. » A-t-elle fini ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observeSalma écrit 90 = 2 × 45 et s’arrête. Mais 45 n’est pas premier.
2. Je me rappelleJe continue jusqu’à obtenir 1 : 45 ÷ 3 = 15 ; 15 ÷ 3 = 5 ; 5 ÷ 5 = 1.
3. Je conclus90 = 2 × 3² × 5.

Erreur 3 S’arrêter avant d’obtenir 1.

→ Je continue les divisions jusqu’au quotient 1.

On essaie ensemble

On applique la méthode 1 ensemble.

ADécompose 84.

84	2
42	2
21	3
7	7
1

84 = 2² × 3 × 7

1. 84 ÷ 2 = 42 ; 42 ÷ 2 = 21. Ensuite, 21 se divise par :

2. 7 ÷ 7 = 1. Donc 84 =

On essaie ensemble

BOn applique la méthode 2.

525 = 3 × 5² × 7 et 196 = 2² × 7². Les facteurs communs sont :

PGCD(525 ; 196) =

On essaie ensemble

CRemets les étapes dans le bon ordre.

Touche les 3 étapes de la méthode 1 dans le bon ordre.

On essaie ensemble

DRelie chaque règle.

Relie : « tous les facteurs, avec le plus grand exposant » donne…

« Seulement les facteurs communs, avec le plus petit exposant » donne…

On essaie ensemble

EChoisis la bonne décomposition.

La décomposition de 840 est :

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

90 =

Je m'entraîne

b

525 =

Je m'entraîne

c

196 =

Je m'entraîne

d

120 = 2³ × 3 × 5 et 90 = 2 × 3² × 5. PGCD(120 ; 90) =

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

e

PPCM(120 ; 90) =

Je m'entraîne

f

504 =

Je m'entraîne

g

360 = 2³ × 3² × 5 et 300 = 2² × 3 × 5². PGCD(360 ; 300) =

Je m'entraîne

h

801 = 3² × 89 et 234 = 2 × 3² × 13. PPCM(801 ; 234) =

Dans la vie

Les facteurs premiers autour de nous.

Un carré de mosaïque a une aire de 144 cm². 144 = 2⁴ × 3². Quel est son côté ?

Dans la vie

Un code est formé du plus grand facteur premier de 2 024. 2 024 = 2³ × 11 × 23. Quel est le code ?

Dans la vie

Une salle a 72 chaises : 72 = 2³ × 3². Peut-on les ranger en 9 rangées égales ?

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 5 questions : il faut 4 bonnes réponses du premier coup (80 %).

132 =

250 =

48 = 2⁴ × 3 et 180 = 2² × 3² × 5. PGCD(48 ; 180) =

PPCM(48 ; 180) =

Dans une décomposition en facteurs premiers, on peut écrire le facteur 9.

Défi

Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.

Quel est le plus petit nombre dont la décomposition contient 2, 3 et 5, chacun avec l’exposant 2 ?

Défi

a = 2³ × 3 × 7. Combien vaut PGCD(a ; 84) si 84 = 2² × 3 × 7 ?

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Pour le PPCM, je prends…

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

1. Le théorèmeTout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit de façon unique comme produit de nombres premiers.
2. Méthode 1Divisions successives par le plus petit premier, jusqu’à 1 (ou arbre de factorisation). J’écris avec des puissances.
3. Méthode 2PGCD : facteurs communs, plus petit exposant. PPCM : tous les facteurs, plus grand exposant.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je décompose un nombre en produit de facteurs premiers.

Je trouve le PGCD et le PPCM avec les décompositions.

J’utilise la décomposition dans la vie.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes sur la décomposition en facteurs premiers.ManipulationL’échelle de divisionDivise par le plus petit nombre premier jusqu’à 1, puis écris la décomposition.JeuLa bonne décompositionTrois écritures : trouve vite la bonne décomposition.

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