Leçon 1 - Tâche 4 : Déterminer le PPCM de deux entiers positifs

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Leçon 1 - Tâche 4 sur 8

04Déterminer le PPCM de deux entiers positifs

Je peux déterminer le plus petit multiple commun non nul de deux entiers positifs, par énumération ou avec la formule du PGCD.

MotsPréparerMa tâcheRetenirExemplesAttentionEnsembleSeulVie réelleVérifierDéfiRésumé

Mots-clés

Touche chaque carte pour voir son sens. Regarde les 9 cartes.

un multiple

Touche pour retourner

un multiple

le résultat d’une multiplication par un entier : 12 = 4 × 3 est un multiple de 4

un multiple commun

Touche pour retourner

un multiple commun

un nombre qui est multiple des deux nombres : 24 est multiple de 6 et de 8

non nul

Touche pour retourner

non nul

différent de 0 : 0 est un multiple de tous les nombres, on ne le prend pas

le PPCM

Touche pour retourner

le PPCM

le Plus Petit Commun Multiple non nul : PPCM(6 ; 4) = 12

le PGCD

Touche pour retourner

le PGCD

le plus grand diviseur commun (tâche 3) : PGCD(6 ; 4) = 2

une formule

Touche pour retourner

une formule

une égalité pour calculer directement : PPCM(x ; y) = x × y ÷ PGCD(x ; y)

premiers entre eux

Touche pour retourner

premiers entre eux

deux nombres dont le PGCD est 1

déduire

Touche pour retourner

déduire

trouver un résultat à partir d’un autre résultat déjà connu

montrer

Touche pour retourner

montrer

prouver qu’une phrase est vraie avec des calculs et des justifications

Je me prépare

Ce que tu sais déjà (tâches 1 et 2).

Vrai ou faux ?

864 est un multiple de 9.

40 est un multiple commun de 8 et 10.

Je me prépare

Multiples et PGCD.

Les multiples de 6 inférieurs à 40 sont :

PGCD(45 ; 18) =

Je me prépare

Multiples de 4 : 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; 40.
Multiples de 6 : 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36.

Touche les multiples communs non nuls de 4 et de 6 (jusqu’à 40).

Je me prépare : ce que je sais déjà

Ce que je sais déjà.

×Un multiplea est un multiple de b si a = b × k, avec k entier. 0 est un multiple de tous les entiers.

∩Un multiple communUn multiple commun de deux nombres est un multiple de chacun des deux nombres.

÷Le PGCDJe sais déterminer le PGCD de deux entiers (tâche 3).

Question : comment trouver le plus petit multiple commun non nul de 75 et 60 sans écrire de longues listes ?

Voici la tâche à réussir

À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :

Détermine PPCM(7 ; 4) par énumération, puis PPCM(75 ; 60) avec la formule. Montre que 222 et 205 sont premiers entre eux, puis déduis PPCM(222 ; 205).

Le premier multiple commun non nul de 7 et 4 est 28. Donc PPCM(7 ; 4) = 28.

PGCD(75 ; 60) = 15, donc PPCM(75 ; 60) = 75 × 60 ÷ 15 = 300.

PGCD(222 ; 205) = 1, donc PPCM(222 ; 205) = 222 × 205 = 45 510.

Voici ce qu’il faut savoir

Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.

12Le PPCM est le plus petit des multiples communs non nuls. Je peux le trouver en énumérant les multiples.

÷Avec le PGCD : PPCM(x ; y) = x × y ÷ PGCD(x ; y).

×Si x et y sont premiers entre eux, alors PPCM(x ; y) = x × y.

Voici ma méthode 1 : par énumération

Pour déterminer le PPCM par énumération, j’utilise cette méthode, en 3 étapes.

1J’écris les multiplesJ’écris les premiers multiples de chaque nombre.

2Je repère les multiples communsJe cherche les nombres non nuls qui sont dans les deux listes.

3Je conclusLe PPCM est le plus petit multiple commun non nul.

Voici ma méthode 2 : avec la formule

Pour déterminer le PPCM avec la formule, j’utilise cette méthode, en 3 étapes.

1Je détermine le PGCDJe calcule PGCD(x ; y), par exemple avec l’algorithme d’Euclide.

2J’utilise la formulePPCM(x ; y) = x × y ÷ PGCD(x ; y).

3Je conclusJ’écris : PPCM(x ; y) = … .

Je retiens : le PPCM

Je te montre comment je fais

Qu’est-ce que le PPCM ?

Multiples de 6 :06121824…

Multiples de 4 :04812162024…

PPCM(6 ; 4) = 12

1. J’écris les multiples de 6 et de 4.
2. Les multiples communs non nuls sont 12 et 24.
3. Je retiensSoit x et y deux entiers positifs non nuls. Le plus petit multiple commun non nul de x et y se note PPCM(x ; y). Ici, PPCM(6 ; 4) = 12.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

PPCM(30 ; 24) est :

Je retiens : la propriété 1

Je te montre comment je fais

Un cas rapide : quand un nombre est multiple de l’autre.

1. 72 est un multiple de 8 (72 = 8 × 9).
2. 72 est donc un multiple commun de 72 et de 8, et aucun multiple non nul de 72 n’est plus petit que 72.
3. Je retiensSi x est un multiple de y, alors PPCM(x ; y) = x. Donc PPCM(72 ; 8) = 72.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

48 est un multiple de 6. Donc PPCM(48 ; 6) est :

Je retiens : la propriété 2

Je te montre comment je fais

La formule qui relie le PPCM et le PGCD.

PPCM(x ; y) =x × yPGCD(x ; y)

1. Pour tous entiers positifs non nuls x et y : PPCM(x ; y) × PGCD(x ; y) = x × y.
2. Je retiensDonc PPCM(x ; y) = x × y ÷ PGCD(x ; y).
3. Je retiensSi x et y sont premiers entre eux (PGCD = 1), alors PPCM(x ; y) = x × y. Par exemple, PPCM(13 ; 11) = 143.

Je retiens : je vérifie que j’ai compris

Pour déterminer PPCM(12 ; 9), on calcule 12 × 9 = 108.

J'étudie l'exemple

Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.

Je te montre comment je fais

Exemple 1 Méthode 1Détermine PPCM(7 ; 4) par énumération.

1 J’écris les multiples2 Je repère les multiples communs3 Je conclus

Multiples de 7 :0714212835…

Multiples de 4 :048121620242832…

PPCM(7 ; 4) = 28

Essaie d’abord. PPCM(7 ; 4) est :

1. J’écris les multiplesMultiples de 7 : 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; … Multiples de 4 : 0 ; 4 ; 8 ; … ; 28 ; 32 ; …
2. Je repère les multiples communsLe premier multiple commun non nul est 28.
3. Je conclusDonc PPCM(7 ; 4) = 28.

Je retiensJe vérifie : 28 = 7 × 4. 7 et 4 sont premiers entre eux. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 2 Propriété 1Détermine PPCM(90 ; 10).

Essaie d’abord. PPCM(90 ; 10) est :

1. Je remarque90 = 10 × 9 : 90 est un multiple de 10.
2. Je conclusSi x est un multiple de y, alors PPCM(x ; y) = x. Donc PPCM(90 ; 10) = 90.

Je retiensJe n’ai pas besoin d’écrire les multiples. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 3 Méthode 2Détermine PPCM(75 ; 60) avec la formule.

1 Je détermine le PGCD2 J’utilise la formule3 Je conclus

75 = 60 × 1 + 15

60 = 15 × 4 + 0

PGCD(75 ; 60) = 15

PPCM(75 ; 60) =75 × 6015=450015=300

Essaie d’abord. Par quoi commences-tu ?

1. Je détermine le PGCD75 = 60 × 1 + 15 ; 60 = 15 × 4 + 0. Donc PGCD(75 ; 60) = 15.
2. J’utilise la formulePPCM(75 ; 60) = 75 × 60 ÷ 15 = 4 500 ÷ 15 = 300.
3. Je conclusDonc PPCM(75 ; 60) = 300.

Je retiensJe vérifie : 300 = 75 × 4 et 300 = 60 × 5. ✓

J'étudie l'exemple

Je te montre comment je fais

Exemple 4 Méthode 2Montre que 222 et 205 sont premiers entre eux, puis déduis PPCM(222 ; 205).

1 Je détermine le PGCD2 J’utilise la formule3 Je conclus

222 = 205 × 1 + 17

205 = 17 × 12 + 1

17 = 1 × 17 + 0

PGCD(222 ; 205) = 1

Essaie d’abord. Si PGCD = 1, alors PPCM(222 ; 205) =

1. Je détermine le PGCD222 = 205 × 1 + 17 ; 205 = 17 × 12 + 1 ; 17 = 1 × 17 + 0. PGCD(222 ; 205) = 1 : ils sont premiers entre eux.
2. J’utilise la formulePGCD = 1, donc PPCM(222 ; 205) = 222 × 205.
3. Je conclusDonc PPCM(222 ; 205) = 45 510.

Je retiensJe vérifie : 222 × 205 = 45 510. ✓

Attention !

Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.

Les erreurs à éviter

Amine écrit : « 0 est multiple de 6 et de 4, donc PPCM(6 ; 4) = 0. » A-t-il raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observe0 est un multiple de 6 et de 4, mais le PPCM est un multiple commun non nul.
2. Je me rappelleJe ne prends jamais 0 : je cherche le plus petit multiple commun différent de 0.
3. Je conclusPPCM(6 ; 4) = 12, pas 0.

Erreur 1 Prendre 0 comme PPCM.

→ Le PPCM est le plus petit multiple commun non nul.

Attention !

Les erreurs à éviter

Nora écrit : « PPCM(12 ; 9) = 12 × 9 = 108. » A-t-elle raison ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observe12 × 9 = 108 est un multiple commun de 12 et 9, mais ce n’est pas le plus petit.
2. Je me rappellePPCM(x ; y) = x × y seulement si x et y sont premiers entre eux. Ici, PGCD(12 ; 9) = 3.
3. Je conclusPPCM(12 ; 9) = 108 ÷ 3 = 36.

Erreur 2 Multiplier les deux nombres sans calculer le PGCD.

→ Je calcule d’abord le PGCD. Je multiplie seulement si le PGCD est 1.

Attention !

Les erreurs à éviter

Le PPCM de 12 et 18 peut-il être 6 ?

Qu’en penses-tu ?

1. J’observePGCD(12 ; 18) = 6 est le plus grand diviseur commun.
2. Je me rappelleLe PPCM est un multiple : il est plus grand que les deux nombres, ou égal au plus grand.
3. Je conclusPPCM(12 ; 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, et PGCD(12 ; 18) = 6. Je ne confonds pas les deux.

Erreur 3 Confondre PGCD et PPCM.

→ Le PGCD divise les deux nombres ; le PPCM est un multiple des deux nombres.

On essaie ensemble

On applique la méthode 1 ensemble, étape par étape.

ADétermine PPCM(9 ; 6) par énumération.

Multiples de 9 :09182736…

Multiples de 6 :061218243036…

1. Multiples de 9 : 0 ; 9 ; 18 ; 27 ; 36. Multiples de 6 : 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36. Les multiples communs non nuls sont :

2. Je conclus : PPCM(9 ; 6) =

On essaie ensemble

On applique la méthode 2 ensemble.

BDétermine PPCM(70 ; 42).

PPCM(70 ; 42) =70 × 4214=294014=210

1. Pour déterminer PPCM(70 ; 42), la première étape est :

2. PGCD(70 ; 42) = 14. Donc PPCM(70 ; 42) =

On essaie ensemble

CRemets les étapes de la méthode 2 dans le bon ordre.

Touche les 3 étapes de la méthode 2 dans le bon ordre.

On essaie ensemble

DVrai ou faux ?

PPCM(13 ; 11) = 13 × 11 = 143.

On essaie ensemble

EOn utilise la propriété 1.

PPCM(88 ; 11) =

Je m'entraîne

À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.

a

PPCM(10 ; 15) =

Je m'entraîne

b

Touche tous les multiples communs non nuls de 6 et 8 (jusqu’à 60).

Aide : Méthode 1 : j’écris les multiples de chaque nombre.

Je m'entraîne

c

PPCM(75 ; 15) =

Je m'entraîne

d

PGCD(24 ; 18) = 6. PPCM(24 ; 18) =

Je m'entraîne

Maintenant, sans indice.

e

PPCM(135 ; 105) =

Je m'entraîne

f

PPCM(20 ; 30) =

Je m'entraîne

g

323 et 322 sont premiers entre eux. PPCM(323 ; 322) =

Je m'entraîne

h

PPCM(8 ; 9) =

Dans la vie

Le PPCM autour de nous.

À la gare routière de Khouribga, un car part pour Casablanca toutes les 12 minutes, et un car pour Béni Mellal toutes les 18 minutes. Deux cars partent ensemble à 8 h. À quelle heure partiront-ils de nouveau ensemble ?

Dans la vie

Ahmed fait un tour de piste en 6 minutes, Karim en 8 minutes. Ils partent ensemble de la ligne de départ. Après combien de minutes se retrouvent-ils ensemble sur la ligne ?

Dans la vie

Des biscuits sont vendus en paquets de 8, des jus en packs de 12. Salma veut le même nombre de biscuits et de jus, le plus petit possible. Combien de chaque ?

Je vérifie

C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres nombres. Sans aide. 5 questions : il faut 4 bonnes réponses du premier coup (80 %).

PPCM(4 ; 6) =

PPCM(20 ; 5) =

PGCD(18 ; 12) = 6. PPCM(18 ; 12) =

PPCM(7 ; 10) =

PPCM(84 ; 60) =

Défi

Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.

Montre que 247 et 246 sont premiers entre eux, puis déduis PPCM(247 ; 246).

Défi

PGCD(x ; y) = 4 et x × y = 480. Que vaut PPCM(x ; y) ?

Je résume : qu’ai-je appris ?

Dis avec tes mots ce que tu as appris.

Aujourd’hui, j’ai appris à…

Je résume : comment je fais ?

Avec la formule, je calcule PPCM(x ; y) =

Je résume : ce que je retiens

Découvre les éléments un par un.

Ce que je dois retenir de cette tâche.

PPCM(x ; y) =x × yPGCD(x ; y)

1. DéfinitionPPCM(x ; y) est le plus petit multiple commun non nul de x et y.
2. Méthode 1J’écris les multiples de chaque nombre et je prends le plus petit multiple commun non nul. Si x est un multiple de y : PPCM(x ; y) = x.
3. Méthode 2PPCM(x ; y) = x × y ÷ PGCD(x ; y). Si x et y sont premiers entre eux : PPCM(x ; y) = x × y.

Je résume : mon taux de maîtrise

Je résume : je sais faire

Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».

Je détermine le PPCM par énumération ou avec la propriété 1.

Je détermine le PPCM avec la formule du PGCD.

Je déduis le PPCM de deux nombres premiers entre eux.

J’utilise le PPCM dans la vie.

Je résume : et maintenant ?

Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.

Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.

QuizLe quiz éclair6 questions en 60 secondes sur le PPCM.ManipulationLa formule du PPCMCalcule le PGCD, le produit, puis divise : PPCM = a × b ÷ PGCD.JeuLe PPCM expressDeux nombres, trois réponses : trouve vite leur PPCM.

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